9 Dados de Área I

9.1 Introdução

  • Na análise de áreas o atributo estudado é em geral resultado de uma contagem ou uma medida de sı́ntse.

  • O objetivo é a detecção e explicação de padrões e tendências observados entre áreas.

  • Área é definida por um polı́gono cuja forma pode ser complexa bem como as relações de vizinhança.

O modelo básico do banco de dados:

ID Local Casos População Médico p/ 1000 hab
001 Rio Bom 41 3209 5,4
002 Serra Verde 320 16897 2,6
003 Poço Fundo 67 2569 1,3

9.2 Principais bibliotecas do R

  • maptools (visualização de dados de área)
  • sp (dados pontos, área, grids, etc…)
  • Spatstat (analise de processos pontuais)
  • splancs (analise de processos pontuais)
  • spdep (analise de dados de área)
  • SpatialEpi (métodos para analise epidemiológica espacial)
  • sf (pacote moderno para dados de pontos, áreas linhas etc… )
  • tmap (mapas temáticos)

Podemos ver outros pacotes que podem interessar em:

Task View: Analysis of Spatial Data

Para os exemplos a seguir Utilizaremos as bibliotecas:

Antes de mais nada como na aula anterior vamos baixar o ZIP contendo os arquivos no formato shape

Lendo o shape de olinda e exibindo os primeiros registros!

## Simple feature collection with 241 features and 10 fields
## geometry type:  POLYGON
## dimension:      XY
## bbox:           xmin: 289000 ymin: 9111000 xmax: 298400 ymax: 9121000
## epsg (SRID):    5535
## proj4string:    +proj=utm +zone=25 +south +ellps=aust_SA +towgs84=-67.35,3.88,-38.22,0,0,0,0 +units=m +no_defs
## # A tibble: 241 x 11
##       AREA PERIMETER SETOR_ SETOR_ID  VAR5 DENS_DEMO   SET CASES   POP DEPRIV                                                                                     geometry
##      <dbl>     <dbl>  <dbl>    <dbl> <int>     <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>  <dbl>                                                                                <POLYGON [m]>
##  1  79139.     1270.      2        1   242     4380.   242     1   337  0.412 ((295638 9120506, 295599 9120446, 295506 9120324, 295599 9120260, 295560 9120190, 295520 ...
##  2 151153      2189.      3        2   224    10563.   224     6  1550  0.168 ((295909 9120474, 295909 9120473, 295893 9120443, 295889 9120405, 295884 9120395, 295868 ...
##  3 265037      2818.      4        3   223     6642.   223     5  1711  0.192 ((295909 9120473, 295909 9120474, 295913 9120481, 296371 9120195, 296299 9120071, 296465 ...
##  4 137696      2098.      5        4   229    13174.   229     1  1767  0.472 ((295527 9120106, 295691 9119937, 295716 9119911, 295774 9119851, 295783 9119842, 295791 ...
##  5 121873      3353.      6        5   228    13812.   228     1  1638  0.302 ((295560 9120190, 295604 9120260, 295642 9120238, 295617 9120180, 295616 9120179, 295770 ...
##  6  55007.     1078.      7        6   222    21309.   222     4  1139  0.097 ((296694 9119921, 296674 9119899, 296613 9119832, 296604 9119837, 296605 9119835, 296465 ...
##  7 225463      2028.      8        9   218     5422.   218     6  1186  0.141 ((298128 9119189, 297987 9119214, 298028 9119457, 298042 9119509, 298152 9119852, 298193 ...
##  8 184847      2547.      9       10   225    11724.   225     2  2108  0.199 ((296674 9119899, 296694 9119921, 296781 9119865, 296781 9119864, 296620 9119672, 296742 ...
##  9  82379.     1636.     10       11   227    13646.   227     1  1088  0.228 ((296142 9119871, 296308 9119748, 296309 9119747, 296305 9119743, 296305 9119742, 296197 ...
## 10  75166.     1094.     11       12   221    21053.   221     6  1535  0.223 ((296620 9119672, 296781 9119864, 297010 9119713, 296904 9119566, 296869 9119516, 296851 ...
## # … with 231 more rows

9.3 Visualização: Mapa Temático usando a biblioteca tmap

Calculando a taxa bruta de deteccao por 10000

Plotando o mapa temático da taxa de detecção

Utilizando o ggplot para plotar o mapa temático da taxa de detecção

Gerando mapas temáticos interativo da taxa de detecção

Plotando o buble map da taxa

9.4 Análise exploratória

9.4.1 Efeitos de primeira ordem:

  • Médias móveis espaciais

    • Kernel

9.4.2 Efeitos de segunda ordem (dependência espacial):

  • Índice de Moran

    • Índice de Geary

    • Correlograma

9.5 Medidas de proximidade em dados de área

  • Quando trabalhamos com atributos variando continuamente na área de estudo (geoestatı́stica) é natural usar distância entre localizações como medida de proximidade espacial.

  • Precisamos definir como medir proximidade espacial em dados de área.

  • Poderı́amos calcular por exemplo a distância entre os centros ou centróides dos polı́gonos.

  • De forma mais geral, utilizamos uma matriz \(W\), onde cada elemento \(w_{ij}\) representa medida de proximidade espacial entre as áreas \(A_i\) e \(A_j\).

  • A escolha de \(w_{ij}\) depende do tipo de dado, da região, dos mecanismos particulares da dependência espacial.

9.6 Matriz de vizinhança

Possíveis critérios:

Tipos Matrizes
1 \[w_{ij} = \begin{cases} 1 \ \ \text{centróide de } A_i \ \text{é o mais próximo de } A_j \\ 0 \ \ \text{caso contrário} \end{cases}\]
2 \[w_{ij} = \begin{cases} 1 \ \ \text{centróide de } A_i \ \text{dentro de distância especificada de } A_j \\ 0 \ \ \text{caso contrário} \end{cases}\]
3 \[w_{ij} = \begin{cases} 1 \ \ A_i \ \text{tem fronteira comum com } A_j \\ 0 \ \ \text{caso contrário} \end{cases}\]
4 \[w_{ij} = \dfrac{I_{ij}}{I_i} \ \text{sendo} \ I_{ij} \ \text{o comprimento da fronteira comum entre } A_i \ \text{e} \ A_j. I_{i} \ \text{é o perímetro de } \ A_i.\]

Ex: Ligações por estradas asfaltadas entre os municı́pios do estado do Rio de Janeiro

Construindo a Matrix de vizinhanca (lista de vizinhos)

A funcao poly2nb da bilioteca spdep cria uma lista de vizinhos a partir de poligonos para areas que fazem fronteira uma com a outra.

Repare o número medio de links 5.49.

Neighbour list object: Number of regions: 241 Number of nonzero links: 1324 Percentage nonzero weights: 2.28 Average number of links: 5.494

A classe do obj viz e “lista de vizinho” (nb=neighbours lists)

[1] “nb”

Iremos precisar da coordenadas dos centróides

[1] “SpatialPolygonsDataFrame” attr(,“package”) [1] “sp”

Contruindo uma lista de K vizinhos mais proximos. Neste exemplo ser feita a conectividade dos vizinhos mais próximos de primeira ordem.

Contruindo conectividade dos vizinhos por triangulação (poligono de voronoi)

Contruindo conectividade dos vizinhos usando a distância entre os pontos. Se coordenadas estiverem em UTM temos distância em metros.

Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. NA’s 91 2298 4117 4071 5780 9467 7260

9.7 Médias Móveis espaciais

A média móvel espacial é dada por:

\[\hat{\mu} = \dfrac{\sum_{j=1}^{n} w_{ij} y_i}{\sum_{j=1}^{n} w_{ij}}\]

Sendo:

  • \(w_{ij}\) é a ponderação obtida da matriz de vizinhança

  • \(y_i\) é o valor do atributo na área \(i\)

Ex: Percentual de idosos na cidade de São Paulo

9.8 Kernel de Área (ou Atributo)

  • Utiliza-se para áreas alocando o valor do atributo a um ponto da área, por exemplo centróide geométrico ou populacional.

  • No kernel de um atributo contı́nuo (por ex., indicadores), inclui-se no denominador o kernel da distribuição dos centróides das áreas.

\[\hat{\mu}_{\tau}(s) = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} K \left( \frac{(s - s_i)}{\tau} \right) y_i \nonumber}{\sum\limits_{i=1}^{n} K \left( \frac{(s - s_i)}{\tau} \right) \nonumber}\]

Sendo:

\(k\) - Função kernel

\(\tau\) - Largura de banda

\(y_i\) - Atributo em cada ponto (centróide da área)

  • Obtém-se portanto a média do atributo na região.

  • Quando as observações representam uma contagem, como por exemplo contagem da população, cada ponto receberá o atributo \(p_i\) (população) alisado pela função \(k\), e largura de banda \(\tau\).

\[\hat{p}_{\tau}(s) = \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{\tau^2} K \left( \frac{(s - s_i)}{\tau} \right) p_i \nonumber\]

  • Obtém-se portanto uma contagem de eventos por unidade de área.

Ex: Densidade dos casos de dengue no Rio de janeiro - 2008 a 2012

Como exemplo iremos plotar o kernel por atributos referente a taxa de detecção de hanseníase em Olinda/PE.

Primeiramente é necessário dissolver os poligonos em formato sf para obter o contorno. Nesse caso queremos preservar o atributo AREA

[1] “AREA” “PERIMETER” “SETOR_” “SETOR_ID” “VAR5” “DENS_DEMO” “SET” “CASES” “POP” “DEPRIV” “geometry” “tx”

Duas formas para plotar o contorno de Olinda/PE.

Ou utilizando a biblioteca spatstat

Mas podemos fazer de uma maneira bem mais simples onde não preservamos nenhum atributo!

Extraindo os centróidas dos polígonos em olinda.

Colocando os pontos no formato sp

Fazendo o kernel por atributo da taxa de detecção

9.9 Correlação espacial e Correlograma

  • Em geoestatı́stica, utlizamos o covariograma e o variograma para analisar a estrutura de covariância do processo.

  • Ideias similares podem ser utilizadas para dados de área supondo que os valores do atributo são localizados em um ponto dentro de cada área.

  • Precisamos incorporar as medidas de proximidade espacial (matriz de vizinhança) utilizadas em dados de área.

  • As técnicas mais comuns estimam correlação espacial ou autocorrelação espacial.

  • As medidas mais comuns são: Índice de Moran e Índice de Geary.

Para uma matriz de vizinhança \(W\) a correlação espacial Moran \(I\) é estimada como:

\[I = \dfrac{n \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_{ij} (y_{i}-\bar{y})(y_{j}-\bar{y})}{(\sum_{i=1}(y_{i}-\bar{y})^2)(\sum \sum_{i\neq j} w_{ij})}\]

Sendo:

  • \(w_{ij}\) é o elemento da matriz de vizinhança.

  • O Índice de Moran é um teste cuja hipótese nula é de independência ou aleatoriedade espacial.

  • Valores positivos (entre 0 e 1) indicam correlação direta e negativos (entre -1 e 0) indicam correlação inversa.

Para uma matriz de vizinhança W a correlação espacial Geary C é estimada como

\[C = \dfrac{(n-1) \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_{ij} (y_{i}-y_{j})}{2(\sum_{i=1}(y_{i}-\bar{y})^2)(\sum \sum_{i\neq j} w_{ij})}\]

Sendo:

  • \(w_{ij}\) o elemento da matriz de vizinhança.

  • O ı́ndice * C de Geary* assemelha-se ao variogra.

Podemos generalizar as estimativas de correlação espacial para diferentes lags e calcular o correlograma. Por exemplo, o *ı́ndice de Moran no lag \(k *\) é dado por:

\[I^{(k)} = \dfrac{n \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_{ij}^{(k)} (y_{i}-\bar{y})(y_{j}-\bar{y})}{(\sum_{i=1}(y_{i}-\bar{y})^2)(\sum \sum_{i\neq j} w_{ij}^{(k)})}\]

Sendo:

  • \(w_{ij}\) o elemento da matriz de vizinhança no lag \(k\), \(W^{(k)}\)

  • Desta forma se constrói a função de autocorrelação para cada lag.

  • A significância estatı́stica pode ser calculada por permutação ou, caso a variável tenha distribuição normal, por teste \(Z\)

Ex: Logaritmo da taxa mortalidade por homicı́dios no Sudeste, 1991

Ex: Correlograma da taxa mortalidade por homicı́dios no Sudeste, 1991

9.10 Indicadores Locais de Associação Espacial

  • Os indicadores globais de autocorrelação espacial, como o ı́ndice de Moran, fornecem um único valor como medida da associação espacial para todo o conjunto de dados, o que é útil na caracterização da região de estudo como um todo.

  • Muitas vezes é desejável examinar padrões com mais detalhe.

  • Os indicadores locais permitem encontrar os “bolsões” de dependência espacial não evidenciados nos ı́ndices globais.

  • Permitem identificar:

    • Clusters: agrupamentos de objetos com valores semelhantes

    • Outliers: objetos anômalos

    • Existência de mais de um regime espacial

  • A significância estatı́stica também é calculada por permutações e supõe-se normalidade da variável.

9.11 Indicadores Locais de Associação Espacial (LISA)

O ı́ndice local de Moran pode ser expresso para cada área$ i$ a partir dos valores normalizados \(z_i\) do atributo como:

\[I_{i} = \dfrac{z_{i}\sum_{j=1}^{n} w_{ij}z_{j}}{\sum_{j=1}^n z_{j}^2}\]

Sendo \(z_i\) o desvio de i em relação a média global e \(z_j\) é a média dos desvios dos vizinhos de i.

  • \(i > 0\) - clusters de valores similares.

    • \(i < 0\) - clusters de valores distintos (Ex: uma localização com valores altos rodeada por uma vizinhança de valores baixos).

  • A significância estatı́stica do uso do* ı́ndice de Moran local* também deve ser computada.

Ex: Mapa temáticos com o Moran Global da Incidência de Hansenı́ase São Paulo,1989

Ex: Moran Local da Incidência de Hansenı́ase São Paulo,1989

Obtendo a correlação da taxa de detecção de haseníase em Olinda/PE

Moran I test under randomisation

data: na.omit(olinda.sf$tx)
weights: pesos.viz

Moran I statistic standard deviate = 10, p-value <2e-16 alternative hypothesis: greater sample estimates: Moran I statistic Expectation Variance 0.393148 -0.004167 0.001552

Plotando o correlograma

Spatial correlogram for olinda.sf$tx 
method: Moran's I
         estimate expectation  variance standard deviate Pr(I) two sided    
1 (241)  0.393148   -0.004167  0.001552            10.09         < 2e-16 ***
2 (241)  0.319179   -0.004167  0.000681            12.39         < 2e-16 ***
3 (241)  0.264313   -0.004167  0.000427            13.00         < 2e-16 ***
4 (241)  0.205452   -0.004167  0.000320            11.72         < 2e-16 ***
5 (241)  0.112051   -0.004167  0.000276             6.99         2.7e-12 ***
6 (241)  0.036724   -0.004167  0.000256             2.56          0.0105 *  
7 (241) -0.050565   -0.004167  0.000248            -2.94          0.0032 ** 
8 (241) -0.107164   -0.004167  0.000300            -5.95         2.7e-09 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Mapeando os polígonos que tiveram os p-valores mais significativos no Moran Local.

Moran Local (Lisa Map) da taxa de detecção de haseníase em Olinda/PE

      Local Morans I Stand. dev. (N) Pr. (N) Saddlepoint Pr. (Sad) Expectation Variance Skewness Kurtosis Minimum Maximum      omega    sad.r    sad.u
1 1          0.12791         0.18796  0.4255     0.31170   0.37764   -0.004167   0.4938 -0.03470    8.709  -85.18   84.18  0.0010729  0.18582  0.19022
2 2          0.02554         0.05188  0.4793     0.08267   0.46706   -0.004167   0.3278 -0.04259    8.710  -69.49   68.49  0.0003738  0.05165  0.05173
3 3          0.15244         0.35459  0.3614     0.55676   0.28884   -0.004167   0.1951 -0.05521    8.711  -53.72   52.72  0.0030118  0.34460  0.37074
4 4          0.50274         0.72134  0.2353     0.97384   0.16507   -0.004167   0.4938 -0.03470    8.709  -85.18   84.18  0.0031202  0.65981  0.81172
5 5          0.42071         1.22465  0.1104     1.38111   0.08362   -0.004167   0.1204 -0.07028    8.712  -42.30   41.30  0.0082156  1.02832  1.47803
6 6          0.07649         0.11478  0.4543     0.19135   0.42413   -0.004167   0.4938 -0.03470    8.709  -85.18   84.18  0.0006678  0.11401  0.11502
7 7         -0.22400        -0.31283  0.6228    -0.50776   0.69419   -0.004167   0.4938 -0.03470    8.709  -85.18   84.18 -0.0016837 -0.30435 -0.32379
8 8          0.27513         0.85568  0.1961     1.09593   0.13655   -0.004167   0.1065 -0.07470    8.712  -39.83   38.83  0.0074344  0.76668  0.98683
9 9          0.32109         0.80844  0.2094     1.05417   0.14590   -0.004167   0.1619 -0.06061    8.711  -48.98   47.98  0.0058374  0.72961  0.92456
10 10        0.04132         0.07945  0.4683     0.13008   0.44825   -0.004167   0.3278 -0.04259    8.710  -69.49   68.49  0.0005709  0.07904  0.07936

9.12 Método Bayesiano Empı́rico

  • Suponha \(\theta_i\) a taxa desconhecida na área \(i\) e seja \(r_i = \dfrac{y_i}{n_i}\) a taxa observada na área \(i\).

  • Suponha que temos uma distribuição a priori para \(\theta_i\) com média \(\mu_i\) e variância \(\phi_i\).

  • Assim a taxa bayesiana empı́rica é dada por:

\[\hat{\theta} = w_i r_i + (1-w_i)\mu_i\] Sabendo que:

\[w_i = \dfrac{\phi_i}{\phi_i +\mu_i/n_i}\]

  • \(\mu_i\) e \(\phi_i\) são estimados a partir dos dados, supondo que \(\mu_i = \mu\) e \(\phi_i = \phi\).

EX: Taxa de Detecção de Hanseníase em Olinda/PE

9.13 Uso de taxas padronizadas (SMR)

  • Para permitir comparações entre diferentes populações no espaço ou no tempo, as taxas devem ser padronizadas.

  • Padronizar as população de risco por tamanho, estrutura etária e sexo é comumente empregado.

  • O SMR permite comparar diferentes variáveis se adotamos uma escala única em vários mapas. Por exemplo, taxas de morbidade de doenças com incidência muito diferentes.

  • Padronização direta pode ser usada (com população mundial como padrão) quando queremos oferecer o estudo para possı́veis comparações internacionais. Estas taxas tendem a ter mais variância.

Para cada região \(i\), calcula-se o número esperado de eventos caso o risco na área \(i\) seja igual ao risco esperado na região total.

\[E_i = Pop_{i} r\]

  • Sabendo que \(r = \dfrac{\sum O_i}{\sum Pop_i}\), ou seja, \(r\) é o número total de eventos em todas as regiões dividido pela população total das regiões.

  • Número esperado: \(SMR_i = O_i /E_i\).

  • É comum SMR ser multiplicada por 100.

[1] 41.49

9.14 Bibliografia sugerida

Interactive Spatial Data Analysis by Trevor C. Bailey , Anthony C. Gatrell Routledge, 1995

Applied Spatial Statistics for Public Health Data; Lance A. Waller, Carol A. Gotway Wiley-Interscience 1St ed. 2004

Applied Spatial Data Analysis with R; Roger S. Bivand, Edzer Pebesma , Virgilio Gomez-Rubio Springer; Edição: 2nd ed. 2013